5p^2+3p/1+p=4 lösen

$$\frac { 5 p ^ { 2 } + 3 p } { 1 + p } = 4$$

Nach p auflösen

$$p=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$p=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable p kann nicht gleich -1 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit p+1.

$$5p^{2}+3p=4\left(p+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit p+1 zu multiplizieren.

$$5p^{2}+3p=4p+4$$

Subtrahieren Sie 4p von beiden Seiten.

$$5p^{2}+3p-4p=4$$

Kombinieren Sie 3p und -4p, um -p zu erhalten.

$$5p^{2}-p=4$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$5p^{2}-p-4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5p^{2}+ap+bp-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-5 b=4$$

5p^{2}-p-4 als \left(5p^{2}-5p\right)+\left(4p-4\right) umschreiben.

$$\left(5p^{2}-5p\right)+\left(4p-4\right)$$

Klammern Sie 5p in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$5p\left(p-1\right)+4\left(p-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term p-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(p-1\right)\left(5p+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie p-1=0 und 5p+4=0.

$$p=1 p=-\frac{4}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable p kann nicht gleich -1 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit p+1.

$$5p^{2}+3p=4\left(p+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit p+1 zu multiplizieren.

$$5p^{2}+3p=4p+4$$

Subtrahieren Sie 4p von beiden Seiten.

$$5p^{2}+3p-4p=4$$

Kombinieren Sie 3p und -4p, um -p zu erhalten.

$$5p^{2}-p=4$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$5p^{2}-p-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -1 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -4.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1 zu 80.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$p=\frac{1±9}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$p=\frac{1±9}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{1±9}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 9.

$$p=\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie 10 durch 10.

$$p=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{1±9}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von 1.

$$p=-\frac{8}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{4}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$p=1 p=-\frac{4}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable p kann nicht gleich -1 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit p+1.

$$5p^{2}+3p=4\left(p+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit p+1 zu multiplizieren.

$$5p^{2}+3p=4p+4$$

Subtrahieren Sie 4p von beiden Seiten.

$$5p^{2}+3p-4p=4$$

Kombinieren Sie 3p und -4p, um -p zu erhalten.

$$5p^{2}-p=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5p^{2}-p}{5}=\frac{4}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$p^{2}-\frac{1}{5}p=\frac{4}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$p^{2}-\frac{1}{5}p+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$p^{2}-\frac{1}{5}p+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu \frac{1}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$p^{2}-\frac{1}{5}p+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

Faktor p^{2}-\frac{1}{5}p+\frac{1}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(p-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(p-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Vereinfachen.

$$p-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} p-\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

Addieren Sie \frac{1}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$p=1 p=-\frac{4}{5}$$