frac{5-sqrt{7}}{5+sqrt{7}}+frac{5+sqrt{7}}{5-sqrt{7}} lösen

$$\frac { 5 - \sqrt { 7 } } { 5 + \sqrt { 7 } } + \frac { 5 + \sqrt { 7 } } { 5 - \sqrt { 7 } }$$

Auswerten

$$\frac{32}{9}\approx 3,555555556$$

Kurze Lösungsschritte

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}}, indem Sie Zähler und Nenner mit 5-\sqrt{7} multiplizieren.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Betrachten Sie \left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

5 zum Quadrat. \sqrt{7} zum Quadrat.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{25-7}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Subtrahieren Sie 7 von 25, um 18 zu erhalten.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Multiplizieren Sie 5-\sqrt{7} und 5-\sqrt{7}, um \left(5-\sqrt{7}\right)^{2} zu erhalten.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

\left(5-\sqrt{7}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Das Quadrat von \sqrt{7} ist 7.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+7}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Addieren Sie 25 und 7, um 32 zu erhalten.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}, indem Sie Zähler und Nenner mit 5+\sqrt{7} multiplizieren.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}$$

Betrachten Sie \left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

5 zum Quadrat. \sqrt{7} zum Quadrat.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{25-7}$$

Subtrahieren Sie 7 von 25, um 18 zu erhalten.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{18}$$

Multiplizieren Sie 5+\sqrt{7} und 5+\sqrt{7}, um \left(5+\sqrt{7}\right)^{2} zu erhalten.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

\left(5+\sqrt{7}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Das Quadrat von \sqrt{7} ist 7.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+7}{18}$$

Addieren Sie 25 und 7, um 32 zu erhalten.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{32+10\sqrt{7}}{18}$$

Da \frac{32-10\sqrt{7}}{18} und \frac{32+10\sqrt{7}}{18} denselben Nenner haben, addieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler addieren.

$$\frac{32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}}{18}$$

Berechnungen als "32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}" ausführen.

$$\frac{64}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{64}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$\frac{32}{9}$$

Faktorisieren

$$\frac{2 ^ {5}}{3 ^ {2}} = 3\frac{5}{9} = 3,5555555555555554$$