5/x-3-x-1/x-2=7 lösen

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "2,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x-2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit 5 zu multiplizieren.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit x-1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-4x+3" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombinieren Sie 5x und 4x, um 9x zu erhalten.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtrahieren Sie 3 von -10, um -13 zu erhalten.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7 mit x-3 zu multiplizieren.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7x-21 mit x-2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Subtrahieren Sie 7x^{2} von beiden Seiten.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Kombinieren Sie -x^{2} und -7x^{2}, um -8x^{2} zu erhalten.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Auf beiden Seiten 35x addieren.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Kombinieren Sie 9x und 35x, um 44x zu erhalten.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Subtrahieren Sie 42 von beiden Seiten.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Subtrahieren Sie 42 von -13, um -55 zu erhalten.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -8, b durch 44 und c durch -55, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

44 zum Quadrat.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplizieren Sie 32 mit -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Addieren Sie 1936 zu -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -44 zu 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Dividieren Sie -44+4\sqrt{11} durch -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{11} von -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Dividieren Sie -44-4\sqrt{11} durch -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "2,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x-2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit 5 zu multiplizieren.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit x-1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-4x+3" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombinieren Sie 5x und 4x, um 9x zu erhalten.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtrahieren Sie 3 von -10, um -13 zu erhalten.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7 mit x-3 zu multiplizieren.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7x-21 mit x-2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Subtrahieren Sie 7x^{2} von beiden Seiten.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Kombinieren Sie -x^{2} und -7x^{2}, um -8x^{2} zu erhalten.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Auf beiden Seiten 35x addieren.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Kombinieren Sie 9x und 35x, um 44x zu erhalten.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Auf beiden Seiten 13 addieren.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Addieren Sie 42 und 13, um 55 zu erhalten.

$$44x-8x^{2}=55$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

Division durch -8 macht die Multiplikation mit -8 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{44}{-8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Dividieren Sie 55 durch -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Dividieren Sie -\frac{11}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Addieren Sie -\frac{55}{8} zu \frac{121}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Addieren Sie \frac{11}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$