frac{5+sqrt{2}i}{1-sqrt{2}i} lösen

$$\frac { 5 + \sqrt { 2 } i } { 1 - \sqrt { 2 } i }$$

Auswerten

$$1+2\sqrt{2}i\approx 1+2,828427125i$$

Lösungsschritte

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{5+i\sqrt{2}}{1-i\sqrt{2}}, indem Sie Zähler und Nenner mit 1+i\sqrt{2} multiplizieren.

$$\frac{\left(5+i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)}{\left(1-i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)}$$

Betrachten Sie \left(1-i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5+i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)}{1^{2}-\left(-i\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Potenzieren Sie 1 mit 2, und erhalten Sie 1.

$$\frac{\left(5+i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)}{1-\left(-i\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Erweitern Sie \left(-i\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5+i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)}{1-\left(-i\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Potenzieren Sie -i mit 2, und erhalten Sie -1.

$$\frac{\left(5+i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)}{1-\left(-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)}$$

Das Quadrat von \sqrt{2} ist 2.

$$\frac{\left(5+i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)}{1-\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -1 und -2, um 2 zu erhalten.

$$\frac{\left(5+i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)}{1+2}$$

Addieren Sie 1 und 2, um 3 zu erhalten.

$$\frac{\left(5+i\sqrt{2}\right)\left(1+i\sqrt{2}\right)}{3}$$

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie jeden Term von 5+i\sqrt{2} mit jedem Term von 1+i\sqrt{2} multiplizieren.

$$\frac{5+5i\sqrt{2}+i\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{3}$$

Kombinieren Sie 5i\sqrt{2} und i\sqrt{2}, um 6i\sqrt{2} zu erhalten.

$$\frac{5+6i\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{3}$$

Das Quadrat von \sqrt{2} ist 2.

$$\frac{5+6i\sqrt{2}-2}{3}$$

Subtrahieren Sie 2 von 5, um 3 zu erhalten.

$$\frac{3+6i\sqrt{2}}{3}$$

Realteil

$$1$$