4/x+15=35/x^2 lösen

$$\frac { 4 } { x } + 15 = \frac { 35 } { x ^ { 2 } }$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1,4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x^{2}.

$$x\times 4+x^{2}\times 15=35$$

Subtrahieren Sie 35 von beiden Seiten.

$$x\times 4+x^{2}\times 15-35=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$15x^{2}+4x-35=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 15x^{2}+ax+bx-35 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=15\left(-35\right)=-525$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -525 ergeben.

$$-1,525 -3,175 -5,105 -7,75 -15,35 -21,25$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+525=524 -3+175=172 -5+105=100 -7+75=68 -15+35=20 -21+25=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=-21 b=25$$

15x^{2}+4x-35 als \left(15x^{2}-21x\right)+\left(25x-35\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-21x\right)+\left(25x-35\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(5x-7\right)+5\left(5x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-7\right)\left(3x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x-7=0 und 3x+5=0.

$$x=\frac{7}{5} x=-\frac{5}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x^{2}.

$$x\times 4+x^{2}\times 15=35$$

Subtrahieren Sie 35 von beiden Seiten.

$$x\times 4+x^{2}\times 15-35=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$15x^{2}+4x-35=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 15, b durch 4 und c durch -35, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-35\right)}}{2\times 15}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-35\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-35\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -35.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+2100}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 16 zu 2100.

$$x=\frac{-4±\sqrt{2116}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2116.

$$x=\frac{-4±46}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{-4±46}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±46}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 46.

$$x=\frac{42}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{42}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±46}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 46 von -4.

$$x=-\frac{50}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-50}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{7}{5} x=-\frac{5}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x^{2}.

$$x\times 4+x^{2}\times 15=35$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$15x^{2}+4x=35$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{35}{15}$$

Division durch 15 macht die Multiplikation mit 15 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{35}{15}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{35}{15} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{7}{3}$$

Dividieren Sie \frac{4}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{15} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{15} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{15}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{7}{3}+\frac{4}{225}$$

Addieren Sie \frac{7}{3} zu \frac{4}{225}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{529}{225}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{529}{225}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{225}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{23}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{23}{15}$$

\frac{2}{15} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{7}{5} x=-\frac{5}{3}$$