4/x+4/x-6=1 lösen

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,6" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-6\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-6 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Kombinieren Sie 4x und x\times 4, um 8x zu erhalten.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x-6 zu multiplizieren.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Auf beiden Seiten 6x addieren.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Kombinieren Sie 8x und 6x, um 14x zu erhalten.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 24 ergeben.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 14 ergibt.

$$a=12 b=2$$

-x^{2}+14x-24 als \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,6" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-6\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-6 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Kombinieren Sie 4x und x\times 4, um 8x zu erhalten.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x-6 zu multiplizieren.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Auf beiden Seiten 6x addieren.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Kombinieren Sie 8x und 6x, um 14x zu erhalten.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 14 und c durch -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 196 zu -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±10}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dividieren Sie -4 durch -2.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±10}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Dividieren Sie -24 durch -2.

$$x=12$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2 x=12$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,6" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-6\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-6 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Kombinieren Sie 4x und x\times 4, um 8x zu erhalten.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x-6 zu multiplizieren.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Auf beiden Seiten 6x addieren.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Kombinieren Sie 8x und 6x, um 14x zu erhalten.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 24 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$14x-x^{2}=24$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+14x=24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Dividieren Sie 14 durch -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Dividieren Sie 24 durch -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Dividieren Sie -14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

-7 zum Quadrat.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Addieren Sie -24 zu 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Faktor x^{2}-14x+49. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Vereinfachen.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=12 x=2$$