4/x^2-1+15+7x/x^4-5x^2+4=2/4-x^2 lösen

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } - 1 } + \frac { 15 + 7 x } { x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 } = \frac { 2 } { 4 - x ^ { 2 } }$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,-1,1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x^{2}-4 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Addieren Sie -16 und 15, um -1 zu erhalten.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -x^{2}+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Auf beiden Seiten 2x^{2} addieren.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 2x^{2}, um 6x^{2} zu erhalten.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$6x^{2}-1+7x-2=0$$

Subtrahieren Sie 2 von -1, um -3 zu erhalten.

$$6x^{2}-3+7x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$6x^{2}+7x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18 ergeben.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-2 b=9$$

6x^{2}+7x-3 als \left(6x^{2}-2x\right)+\left(9x-3\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(9x-3\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-1=0 und 2x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,-1,1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x^{2}-4 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Addieren Sie -16 und 15, um -1 zu erhalten.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -x^{2}+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Auf beiden Seiten 2x^{2} addieren.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 2x^{2}, um 6x^{2} zu erhalten.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$6x^{2}-1+7x-2=0$$

Subtrahieren Sie 2 von -1, um -3 zu erhalten.

$$6x^{2}-3+7x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}+7x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch 7 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 49 zu 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{-7±11}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±11}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 11.

$$x=\frac{4}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±11}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -7.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,-1,1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x^{2}-4 mit 4 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Addieren Sie -16 und 15, um -1 zu erhalten.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -x^{2}+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Auf beiden Seiten 2x^{2} addieren.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 2x^{2}, um 6x^{2} zu erhalten.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Auf beiden Seiten 1 addieren.

$$6x^{2}+7x=2+1$$

Addieren Sie 2 und 1, um 3 zu erhalten.

$$6x^{2}+7x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{3}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie \frac{7}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{49}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

\frac{7}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$