frac{4+sqrt{5}}{4-sqrt{5}}+frac{4-sqrt{5}}{4+sqrt{5}} lösen

$$\frac { 4 + \sqrt { 5 } } { 4 - \sqrt { 5 } } + \frac { 4 - \sqrt { 5 } } { 4 + \sqrt { 5 } }$$

Auswerten

$$\frac{42}{11}\approx 3,818181818$$

Kurze Lösungsschritte

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}, indem Sie Zähler und Nenner mit 4+\sqrt{5} multiplizieren.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Betrachten Sie \left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

4 zum Quadrat. \sqrt{5} zum Quadrat.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{16-5}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Subtrahieren Sie 5 von 16, um 11 zu erhalten.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Multiplizieren Sie 4+\sqrt{5} und 4+\sqrt{5}, um \left(4+\sqrt{5}\right)^{2} zu erhalten.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

\left(4+\sqrt{5}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Das Quadrat von \sqrt{5} ist 5.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+5}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Addieren Sie 16 und 5, um 21 zu erhalten.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}, indem Sie Zähler und Nenner mit 4-\sqrt{5} multiplizieren.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}$$

Betrachten Sie \left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

4 zum Quadrat. \sqrt{5} zum Quadrat.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{16-5}$$

Subtrahieren Sie 5 von 16, um 11 zu erhalten.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{11}$$

Multiplizieren Sie 4-\sqrt{5} und 4-\sqrt{5}, um \left(4-\sqrt{5}\right)^{2} zu erhalten.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

\left(4-\sqrt{5}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

Das Quadrat von \sqrt{5} ist 5.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+5}{11}$$

Addieren Sie 16 und 5, um 21 zu erhalten.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{21-8\sqrt{5}}{11}$$

Da \frac{21+8\sqrt{5}}{11} und \frac{21-8\sqrt{5}}{11} denselben Nenner haben, addieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler addieren.

$$\frac{21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}}{11}$$

Berechnungen als "21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}" ausführen.

$$\frac{42}{11}$$

Faktorisieren

$$\frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{11} = 3\frac{9}{11} = 3,8181818181818183$$