frac{31sqrt{2}+31sqrt{5}}{2sqrt{10}-3}-frac{62sqrt{2}}{3-2sqrt{10}} lösen

$$\frac { 31 \sqrt { 2 } + 31 \sqrt { 5 } } { 2 \sqrt { 10 } - 3 } - \frac { 62 \sqrt { 2 } } { 3 - 2 \sqrt { 10 } }$$

Auswerten

$$15\sqrt{5}+19\sqrt{2}\approx 60,411077348$$

Lösungsschritte

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{31\sqrt{2}+31\sqrt{5}}{2\sqrt{10}-3}, indem Sie Zähler und Nenner mit 2\sqrt{10}+3 multiplizieren.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{\left(2\sqrt{10}-3\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Betrachten Sie \left(2\sqrt{10}-3\right)\left(2\sqrt{10}+3\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{\left(2\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Erweitern Sie \left(2\sqrt{10}\right)^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{2^{2}\left(\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{4\left(\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Das Quadrat von \sqrt{10} ist 10.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{4\times 10-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Multiplizieren Sie 4 und 10, um 40 zu erhalten.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{40-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Potenzieren Sie 3 mit 2, und erhalten Sie 9.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{40-9}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Subtrahieren Sie 9 von 40, um 31 zu erhalten.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

Rationalisieren Sie den Nenner von \frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}, indem Sie Zähler und Nenner mit 3+2\sqrt{10} multiplizieren.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{\left(3-2\sqrt{10}\right)\left(3+2\sqrt{10}\right)}$$

Betrachten Sie \left(3-2\sqrt{10}\right)\left(3+2\sqrt{10}\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{3^{2}-\left(-2\sqrt{10}\right)^{2}}$$

Potenzieren Sie 3 mit 2, und erhalten Sie 9.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-\left(-2\sqrt{10}\right)^{2}}$$

Erweitern Sie \left(-2\sqrt{10}\right)^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{10}\right)^{2}}$$

Potenzieren Sie -2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-4\left(\sqrt{10}\right)^{2}}$$

Das Quadrat von \sqrt{10} ist 10.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-4\times 10}$$

Multiplizieren Sie 4 und 10, um 40 zu erhalten.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-40}$$

Subtrahieren Sie 40 von 9, um -31 zu erhalten.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{-31}$$

Dividieren Sie 62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right) durch -31, um -2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right) zu erhalten.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\left(-2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)\right)$$

Das Gegenteil von -2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right) ist 2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right).

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie jeden Term von 31\sqrt{2}+31\sqrt{5} mit jedem Term von 2\sqrt{10}+3 multiplizieren.

$$\frac{62\sqrt{10}\sqrt{2}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

10=2\times 5 faktorisieren. Schreiben Sie die Quadratwurzel des Produkts \sqrt{2\times 5} als das Produkt der Quadratwurzeln \sqrt{2}\sqrt{5} um.

$$\frac{62\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Multiplizieren Sie \sqrt{2} und \sqrt{2}, um 2 zu erhalten.

$$\frac{62\times 2\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Multiplizieren Sie 62 und 2, um 124 zu erhalten.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

10=5\times 2 faktorisieren. Schreiben Sie die Quadratwurzel des Produkts \sqrt{5\times 2} als das Produkt der Quadratwurzeln \sqrt{5}\sqrt{2} um.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Multiplizieren Sie \sqrt{5} und \sqrt{5}, um 5 zu erhalten.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\times 5\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Multiplizieren Sie 62 und 5, um 310 zu erhalten.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+310\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Kombinieren Sie 93\sqrt{2} und 310\sqrt{2}, um 403\sqrt{2} zu erhalten.

$$\frac{124\sqrt{5}+403\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Kombinieren Sie 124\sqrt{5} und 93\sqrt{5}, um 217\sqrt{5} zu erhalten.

$$\frac{217\sqrt{5}+403\sqrt{2}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Dividieren Sie jeden Term von 217\sqrt{5}+403\sqrt{2} durch 31, um 7\sqrt{5}+13\sqrt{2} zu erhalten.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2\sqrt{2} mit 3+2\sqrt{10} zu multiplizieren.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\sqrt{10}\sqrt{2}$$

10=2\times 5 faktorisieren. Schreiben Sie die Quadratwurzel des Produkts \sqrt{2\times 5} als das Produkt der Quadratwurzeln \sqrt{2}\sqrt{5} um.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}$$

Multiplizieren Sie \sqrt{2} und \sqrt{2}, um 2 zu erhalten.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\times 2\sqrt{5}$$

Multiplizieren Sie 4 und 2, um 8 zu erhalten.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+8\sqrt{5}$$

Kombinieren Sie 13\sqrt{2} und 6\sqrt{2}, um 19\sqrt{2} zu erhalten.

$$7\sqrt{5}+19\sqrt{2}+8\sqrt{5}$$

Kombinieren Sie 7\sqrt{5} und 8\sqrt{5}, um 15\sqrt{5} zu erhalten.

$$15\sqrt{5}+19\sqrt{2}$$

Faktorisieren

$$15 \sqrt{5} + 19 \sqrt{2} = 60,411077348$$