30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3 lösen

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,-2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x+2\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+3 mit x zu multiplizieren.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+3x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+2 mit 2x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Kombinieren Sie -x^{2} und -2x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Subtrahieren Sie 5x von beiden Seiten.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Kombinieren Sie -3x und -5x, um -8x zu erhalten.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Subtrahieren Sie 2 von 30, um 28 zu erhalten.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx+28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -84 ergeben.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=6 b=-14$$

-3x^{2}-8x+28 als \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 14 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+2=0 und 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,-2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x+2\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+3 mit x zu multiplizieren.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+3x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+2 mit 2x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Kombinieren Sie -x^{2} und -2x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Subtrahieren Sie 5x von beiden Seiten.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Kombinieren Sie -3x und -5x, um -8x zu erhalten.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Subtrahieren Sie 2 von 30, um 28 zu erhalten.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch -8 und c durch 28, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 64 zu 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±20}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{28}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±20}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Dividieren Sie -12 durch -6.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,-2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x+2\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+3 mit x zu multiplizieren.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+3x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+2 mit 2x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Kombinieren Sie -x^{2} und -2x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Subtrahieren Sie 5x von beiden Seiten.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Kombinieren Sie -3x und -5x, um -8x zu erhalten.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Subtrahieren Sie 30 von beiden Seiten.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Subtrahieren Sie 30 von 2, um -28 zu erhalten.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Dividieren Sie -8 durch -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Dividieren Sie -28 durch -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Dividieren Sie \frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Addieren Sie \frac{28}{3} zu \frac{16}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

\frac{4}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$