3x/x-1-4/x=3/x^2-x lösen

$$\frac { 3 x } { x - 1 } - \frac { 4 } { x } = \frac { 3 } { x ^ { 2 } - x }$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x,x^{2}-x.

$$x\times 3x-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}\times 3-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 4 zu multiplizieren.

$$x^{2}\times 3-\left(4x-4\right)=3$$

Um das Gegenteil von "4x-4" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x^{2}\times 3-4x+4=3$$

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$x^{2}\times 3-4x+4-3=0$$

Subtrahieren Sie 3 von 4, um 1 zu erhalten.

$$x^{2}\times 3-4x+1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=3\times 1=3$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-3 b=-1$$

3x^{2}-4x+1 als \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein.

$$x=\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x,x^{2}-x.

$$x\times 3x-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}\times 3-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 4 zu multiplizieren.

$$x^{2}\times 3-\left(4x-4\right)=3$$

Um das Gegenteil von "4x-4" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x^{2}\times 3-4x+4=3$$

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$x^{2}\times 3-4x+4-3=0$$

Subtrahieren Sie 3 von 4, um 1 zu erhalten.

$$x^{2}\times 3-4x+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -4 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 16 zu -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±2}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{4±2}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie 6 durch 6.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 4.

$$x=\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein.

$$x=\frac{1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x,x^{2}-x.

$$x\times 3x-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$x^{2}\times 3-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 4 zu multiplizieren.

$$x^{2}\times 3-\left(4x-4\right)=3$$

Um das Gegenteil von "4x-4" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x^{2}\times 3-4x+4=3$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$x^{2}\times 3-4x=3-4$$

Subtrahieren Sie 4 von 3, um -1 zu erhalten.

$$x^{2}\times 3-4x=-1$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-4x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie -\frac{1}{3} zu \frac{4}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Die Variable x kann nicht gleich 1 sein.

$$x=\frac{1}{3}$$