Nach x, y auflösen
x=6
y=2
Diagramm
Teilen
In die Zwischenablage kopiert
3x+2y=22
Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.
2x+y=14
Betrachten Sie die zweite Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.
3x+2y=22,2x+y=14
Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.
3x+2y=22
Wählen Sie eine der Gleichungen aus, und lösen Sie sie für x, indem Sie x auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.
3x=-2y+22
2y von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)
Dividieren Sie beide Seiten durch 3.
x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}
Multiplizieren Sie \frac{1}{3} mit -2y+22.
2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14
Ersetzen Sie x durch \frac{-2y+22}{3} in der anderen Gleichung, 2x+y=14.
-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14
Multiplizieren Sie 2 mit \frac{-2y+22}{3}.
-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14
Addieren Sie -\frac{4y}{3} zu y.
-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}
\frac{44}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
y=2
Multiplizieren Sie beide Seiten mit -3.
x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}
Ersetzen Sie in x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3} y durch 2. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.
x=\frac{-4+22}{3}
Multiplizieren Sie -\frac{2}{3} mit 2.
x=6
Addieren Sie \frac{22}{3} zu -\frac{4}{3}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
x=6,y=2
Das System ist jetzt gelöst.
3x+2y=22
Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.
2x+y=14
Betrachten Sie die zweite Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.
3x+2y=22,2x+y=14
Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.
\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.
inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right) multiplizieren.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Führen Sie die Berechnung aus.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)
Multiplizieren Sie die Matrizen.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)
Führen Sie die Berechnung aus.
x=6,y=2
Extrahieren Sie die Matrixelemente x und y.
3x+2y=22
Betrachten Sie die erste Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.
2x+y=14
Betrachten Sie die zweite Gleichung. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.
3x+2y=22,2x+y=14
Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.
2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14
Um 3x und 2x gleich zu machen, multiplizieren Sie alle Terme auf jeder Seite der ersten Gleichung mit 2 und alle Terme auf jeder Seite der zweiten Gleichung mit 3.
6x+4y=44,6x+3y=42
Vereinfachen.
6x-6x+4y-3y=44-42
Subtrahieren Sie 6x+3y=42 von 6x+4y=44, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.
4y-3y=44-42
Addieren Sie 6x zu -6x. Die Terme 6x und -6x heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.
y=44-42
Addieren Sie 4y zu -3y.
y=2
Addieren Sie 44 zu -42.
2x+2=14
Ersetzen Sie in 2x+y=14 y durch 2. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.
2x=12
2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x=6
Dividieren Sie beide Seiten durch 2.
x=6,y=2
Das System ist jetzt gelöst.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}