3x+2/9-x^2=5x+1/x+3-1/3-x lösen

$$\frac { 3 x + 2 } { 9 - x ^ { 2 } } = \frac { 5 x + 1 } { x + 3 } - \frac { 1 } { 3 - x }$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 1,774596669$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 0,225403331$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Um das Gegenteil von "3x+2" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit 5x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Addieren Sie -3 und 3, um 0 zu erhalten.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Kombinieren Sie -14x und x, um -13x zu erhalten.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Subtrahieren Sie 5x^{2} von beiden Seiten.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Auf beiden Seiten 13x addieren.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Kombinieren Sie -3x und 13x, um 10x zu erhalten.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-5x^{2}+10x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -5, b durch 10 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+20\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 20 mit -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-40}}{2\left(-5\right)}$$

Addieren Sie 100 zu -40.

$$x=\frac{-10±\sqrt{60}}{2\left(-5\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 60.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -5.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Dividieren Sie -10+2\sqrt{15} durch -10.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{15} von -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Dividieren Sie -10-2\sqrt{15} durch -10.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Um das Gegenteil von "3x+2" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit 5x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Addieren Sie -3 und 3, um 0 zu erhalten.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Kombinieren Sie -14x und x, um -13x zu erhalten.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Subtrahieren Sie 5x^{2} von beiden Seiten.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Auf beiden Seiten 13x addieren.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Kombinieren Sie -3x und 13x, um 10x zu erhalten.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 2 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$10x-5x^{2}=2$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-5x^{2}+10x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -5.

$$\frac{-5x^{2}+10x}{-5}=\frac{2}{-5}$$

Division durch -5 macht die Multiplikation mit -5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{10}{-5}x=\frac{2}{-5}$$

Dividieren Sie 10 durch -5.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-5}$$

Dividieren Sie 2 durch -5.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{5}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{5}+1$$

Addieren Sie -\frac{2}{5} zu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{3}{5}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{3}{5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\frac{\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{15}}{5}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$