3w(w+8)+w(w-4)/2-3=5-w^2 lösen

$$\frac { 3 w ( w + 8 ) + w ( w - 4 ) } { 2 } - 3 = 5 - w ^ { 2 }$$

Nach w auflösen

$$w=-4$$

$$w=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3w mit w+8 zu multiplizieren.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um w mit w-4 zu multiplizieren.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Kombinieren Sie 3w^{2} und w^{2}, um 4w^{2} zu erhalten.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Kombinieren Sie 24w und -4w, um 20w zu erhalten.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Subtrahieren Sie 10 von beiden Seiten.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Subtrahieren Sie 10 von -6, um -16 zu erhalten.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Auf beiden Seiten 2w^{2} addieren.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Kombinieren Sie 4w^{2} und 2w^{2}, um 6w^{2} zu erhalten.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$3w^{2}+10w-8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3w^{2}+aw+bw-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-2 b=12$$

3w^{2}+10w-8 als \left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right) umschreiben.

$$\left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right)$$

Klammern Sie w in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$w\left(3w-2\right)+4\left(3w-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3w-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3w-2\right)\left(w+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3w-2=0 und w+4=0.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3w mit w+8 zu multiplizieren.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um w mit w-4 zu multiplizieren.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Kombinieren Sie 3w^{2} und w^{2}, um 4w^{2} zu erhalten.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Kombinieren Sie 24w und -4w, um 20w zu erhalten.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Subtrahieren Sie 10 von beiden Seiten.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Subtrahieren Sie 10 von -6, um -16 zu erhalten.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Auf beiden Seiten 2w^{2} addieren.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Kombinieren Sie 4w^{2} und 2w^{2}, um 6w^{2} zu erhalten.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch 20 und c durch -16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

20 zum Quadrat.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-24\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -16.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 400 zu 384.

$$w=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$w=\frac{-20±28}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$w=\frac{-20±28}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung w=\frac{-20±28}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 28.

$$w=\frac{8}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$w=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung w=\frac{-20±28}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von -20.

$$w=-\frac{48}{12}$$

Dividieren Sie -48 durch 12.

$$w=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3w mit w+8 zu multiplizieren.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um w mit w-4 zu multiplizieren.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Kombinieren Sie 3w^{2} und w^{2}, um 4w^{2} zu erhalten.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Kombinieren Sie 24w und -4w, um 20w zu erhalten.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Auf beiden Seiten 2w^{2} addieren.

$$4w^{2}+20w-6+2w^{2}=10$$

Kombinieren Sie 4w^{2} und 2w^{2}, um 6w^{2} zu erhalten.

$$6w^{2}+20w-6=10$$

Auf beiden Seiten 6 addieren.

$$6w^{2}+20w=10+6$$

Addieren Sie 10 und 6, um 16 zu erhalten.

$$6w^{2}+20w=16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6w^{2}+20w}{6}=\frac{16}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$w^{2}+\frac{20}{6}w=\frac{16}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{20}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{16}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{8}{3}$$

Dividieren Sie \frac{10}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Addieren Sie \frac{8}{3} zu \frac{25}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Vereinfachen.

$$w+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} w+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

\frac{5}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$