3/x-1-1/x+1=1 lösen

$$\frac { 3 } { x - 1 } - \frac { 1 } { x + 1 } = 1$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{6}+1\approx 3,449489743$$

$$x=1-\sqrt{6}\approx -1,449489743$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3-\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 3 zu multiplizieren.

$$3x+3-\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Um das Gegenteil von "x-1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$3x+3-x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombinieren Sie 3x und -x, um 2x zu erhalten.

$$2x+3+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Addieren Sie 3 und 1, um 4 zu erhalten.

$$2x+4=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Betrachten Sie \left(x-1\right)\left(x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$2x+4=x^{2}-1$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$2x+4-x^{2}=-1$$

Auf beiden Seiten 1 addieren.

$$2x+4-x^{2}+1=0$$

Addieren Sie 4 und 1, um 5 zu erhalten.

$$2x+5-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+2x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 2 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+20}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 4 zu 20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{24}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 24.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{6}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{6}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{6}.

$$x=\frac{2\sqrt{6}-2}{-2}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{6} durch -2.

$$x=1-\sqrt{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{6}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{6} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{6}-2}{-2}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{6} durch -2.

$$x=\sqrt{6}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1-\sqrt{6} x=\sqrt{6}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3-\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 3 zu multiplizieren.

$$3x+3-\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Um das Gegenteil von "x-1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$3x+3-x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombinieren Sie 3x und -x, um 2x zu erhalten.

$$2x+3+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Addieren Sie 3 und 1, um 4 zu erhalten.

$$2x+4=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Betrachten Sie \left(x-1\right)\left(x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$2x+4=x^{2}-1$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$2x+4-x^{2}=-1$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$2x-x^{2}=-1-4$$

Subtrahieren Sie 4 von -1, um -5 zu erhalten.

$$2x-x^{2}=-5$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+2x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{5}{-1}$$

Dividieren Sie 2 durch -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{5}{-1}$$

Dividieren Sie -5 durch -1.

$$x^{2}-2x=5$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=5+1$$

Addieren Sie 5 zu 1.

$$x^{2}-2x+1=6$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=6$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\sqrt{6} x-1=-\sqrt{6}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$