3/x+3/x-5=3x-12/x-5 lösen

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 3 } { x - 5 } = \frac { 3 x - 12 } { x - 5 }$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,5" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-5\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-5 mit 3 zu multiplizieren.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Kombinieren Sie 3x und x\times 3, um 6x zu erhalten.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit 3x-12 zu multiplizieren.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Auf beiden Seiten 12x addieren.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Kombinieren Sie 6x und 12x, um 18x zu erhalten.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$6x-5-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+6x-5=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=-\left(-5\right)=5$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=5 b=1$$

-x^{2}+6x-5 als \left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right)$$

Klammern Sie -x in -x^{2}+5x aus.

$$-x\left(x-5\right)+x-5$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und -x+1=0.

$$x=5 x=1$$

Die Variable x kann nicht gleich 5 sein.

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,5" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-5\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-5 mit 3 zu multiplizieren.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Kombinieren Sie 3x und x\times 3, um 6x zu erhalten.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit 3x-12 zu multiplizieren.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Auf beiden Seiten 12x addieren.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Kombinieren Sie 6x und 12x, um 18x zu erhalten.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+18x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 18 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+12\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -15.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-180}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 324 zu -180.

$$x=\frac{-18±\sqrt{144}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-18±12}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-18±12}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±12}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -18 zu 12.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dividieren Sie -6 durch -6.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±12}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von -18.

$$x=-\frac{30}{-6}$$

Dividieren Sie -30 durch -6.

$$x=5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=5$$

Die Variable x kann nicht gleich 5 sein.

$$x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,5" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-5\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-5 mit 3 zu multiplizieren.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Kombinieren Sie 3x und x\times 3, um 6x zu erhalten.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit 3x-12 zu multiplizieren.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Auf beiden Seiten 12x addieren.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Kombinieren Sie 6x und 12x, um 18x zu erhalten.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 15 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$18x-3x^{2}=15$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+18x=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+18x}{-3}=\frac{15}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{18}{-3}x=\frac{15}{-3}$$

Dividieren Sie 18 durch -3.

$$x^{2}-6x=\frac{15}{-3}$$

Dividieren Sie 15 durch -3.

$$x^{2}-6x=-5$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Addieren Sie -5 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Vereinfachen.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=5 x=1$$

Die Variable x kann nicht gleich 5 sein.

$$x=1$$