3/x+2/x-1=2 lösen

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 2 } { x - 1 } = 2$$

Nach x auflösen

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 3 zu multiplizieren.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie 3x und x\times 2, um 5x zu erhalten.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-1 zu multiplizieren.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Auf beiden Seiten 2x addieren.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Kombinieren Sie 5x und 2x, um 7x zu erhalten.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -2x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 6 ergeben.

$$1,6 2,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+6=7 2+3=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=6 b=1$$

-2x^{2}+7x-3 als \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right) umschreiben.

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(-x+3\right)-\left(-x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+3\right)\left(2x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+3=0 und 2x-1=0.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 3 zu multiplizieren.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie 3x und x\times 2, um 5x zu erhalten.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-1 zu multiplizieren.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Auf beiden Seiten 2x addieren.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Kombinieren Sie 5x und 2x, um 7x zu erhalten.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 7 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 49 zu -24.

$$x=\frac{-7±\sqrt{25}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-7±5}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-7±5}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±5}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 5.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±5}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von -7.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Dividieren Sie -12 durch -4.

$$x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{2} x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 3 zu multiplizieren.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie 3x und x\times 2, um 5x zu erhalten.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-1 zu multiplizieren.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Auf beiden Seiten 2x addieren.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Kombinieren Sie 5x und 2x, um 7x zu erhalten.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 3 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$7x-2x^{2}=3$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}+7x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Dividieren Sie 7 durch -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Dividieren Sie 3 durch -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Addieren Sie -\frac{3}{2} zu \frac{49}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Addieren Sie \frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$