2x-2x^2/x-2=12 lösen

$$\frac { 2 x - 2 x ^ { 2 } } { x - 2 } = 12$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{73} - 5}{2} \approx 1,772001873$$

$$x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2}\approx -6,772001873$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich 2 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x-2.

$$2x-2x^{2}=12\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 12 mit x-2 zu multiplizieren.

$$2x-2x^{2}=12x-24$$

Subtrahieren Sie 12x von beiden Seiten.

$$2x-2x^{2}-12x=-24$$

Kombinieren Sie 2x und -12x, um -10x zu erhalten.

$$-10x-2x^{2}=-24$$

Auf beiden Seiten 24 addieren.

$$-10x-2x^{2}+24=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}-10x+24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch -10 und c durch 24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+192}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 100 zu 192.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{292}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 292.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{73}}{2\left(-2\right)}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{73}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{10±2\sqrt{73}}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{73}}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 2\sqrt{73}.

$$x=\frac{2\sqrt{73}+10}{-4}$$

Dividieren Sie 10+2\sqrt{73} durch -4.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{73}}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{73} von 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{73}}{-4}$$

Dividieren Sie 10-2\sqrt{73} durch -4.

$$x=\frac{\sqrt{73}-5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2} x=\frac{\sqrt{73}-5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich 2 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x-2.

$$2x-2x^{2}=12\left(x-2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 12 mit x-2 zu multiplizieren.

$$2x-2x^{2}=12x-24$$

Subtrahieren Sie 12x von beiden Seiten.

$$2x-2x^{2}-12x=-24$$

Kombinieren Sie 2x und -12x, um -10x zu erhalten.

$$-10x-2x^{2}=-24$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}-10x=-24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}-10x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-2}\right)x=-\frac{24}{-2}$$

Dividieren Sie -10 durch -2.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-2}$$

Dividieren Sie -24 durch -2.

$$x^{2}+5x=12$$

Dividieren Sie 5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=12+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie 12 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{73}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{73}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{73}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{73}}{2}$$

\frac{5}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{73}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2}$$