2x/x-2=5+13x^2/x-2 lösen

$$\frac { 2 x } { x - 2 } = 5 + \frac { 13 x ^ { 2 } } { x - 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=\frac{10}{13}\approx 0,769230769$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich 2 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit 5 zu multiplizieren.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Subtrahieren Sie 5x von beiden Seiten.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Kombinieren Sie 2x und -5x, um -3x zu erhalten.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Subtrahieren Sie -10 von beiden Seiten.

$$-3x-\left(-10\right)=13x^{2}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$-3x+10=13x^{2}$$

Subtrahieren Sie 13x^{2} von beiden Seiten.

$$-3x+10-13x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-13x^{2}-3x+10=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -13x^{2}+ax+bx+10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=-13\times 10=-130$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -130 ergeben.

$$1,-130 2,-65 5,-26 10,-13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-130=-129 2-65=-63 5-26=-21 10-13=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=10 b=-13$$

-13x^{2}-3x+10 als \left(-13x^{2}+10x\right)+\left(-13x+10\right) umschreiben.

$$\left(-13x^{2}+10x\right)+\left(-13x+10\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(13x-10\right)-\left(13x-10\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 13x-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(13x-10\right)\left(-x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 13x-10=0 und -x-1=0.

$$x=\frac{10}{13} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich 2 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit 5 zu multiplizieren.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Subtrahieren Sie 5x von beiden Seiten.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Kombinieren Sie 2x und -5x, um -3x zu erhalten.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Subtrahieren Sie -10 von beiden Seiten.

$$-3x-\left(-10\right)=13x^{2}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$-3x+10=13x^{2}$$

Subtrahieren Sie 13x^{2} von beiden Seiten.

$$-3x+10-13x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-13x^{2}-3x+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -13, b durch -3 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-13\right)\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-13\right)\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -13.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+52\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Multiplizieren Sie 52 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+520}}{2\left(-13\right)}$$

Addieren Sie 9 zu 520.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{529}}{2\left(-13\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±23}{2\left(-13\right)}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±23}{2\left(-13\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -13.

$$x=\frac{3±23}{-26}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±23}{-26}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 23.

$$x=\frac{26}{-26}$$

Dividieren Sie 26 durch -26.

$$x=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±23}{-26}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von 3.

$$x=-\frac{20}{-26}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{-26} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{10}{13}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1 x=\frac{10}{13}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich 2 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit 5 zu multiplizieren.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Subtrahieren Sie 5x von beiden Seiten.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Kombinieren Sie 2x und -5x, um -3x zu erhalten.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Subtrahieren Sie 13x^{2} von beiden Seiten.

$$-3x-13x^{2}=-10$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-13x^{2}-3x=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -13.

$$\frac{-13x^{2}-3x}{-13}=-\frac{10}{-13}$$

Division durch -13 macht die Multiplikation mit -13 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-13}\right)x=-\frac{10}{-13}$$

Dividieren Sie -3 durch -13.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x=-\frac{10}{-13}$$

Dividieren Sie -10 durch -13.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x=\frac{10}{13}$$

Dividieren Sie \frac{3}{13}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{26} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{26} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\left(\frac{3}{26}\right)^{2}=\frac{10}{13}+\left(\frac{3}{26}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{26}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}=\frac{10}{13}+\frac{9}{676}$$

Addieren Sie \frac{10}{13} zu \frac{9}{676}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}=\frac{529}{676}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{26}\right)^{2}=\frac{529}{676}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{676}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{26}=\frac{23}{26} x+\frac{3}{26}=-\frac{23}{26}$$

\frac{3}{26} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{10}{13} x=-1$$