2x^2+1/2x-x^2/x+1=3x^2-1/x(x+1) lösen

$$\frac { 2 x ^ { 2 } + 1 } { 2 x } - \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } = \frac { 3 x ^ { 2 } - 1 } { x ( x + 1 ) }$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2x\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2x,x+1,x\left(x+1\right).

$$\left(x+1\right)\left(2x^{2}+1\right)-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2x^{2}+1 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, addieren Sie ihre Exponenten. Addieren Sie 1 und 2, um 3 zu erhalten.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit 3x^{2}-1 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=6x^{2}-2$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}-6x^{2}=-2$$

Kombinieren Sie 2x^{2} und -6x^{2}, um -4x^{2} zu erhalten.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}=-2$$

Auf beiden Seiten 2 addieren.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}+2=0$$

Addieren Sie 1 und 2, um 3 zu erhalten.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+3-2x^{3}=0$$

Kombinieren Sie 2x^{3} und -2x^{3}, um 0 zu erhalten.

$$x-4x^{2}+3=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-4x^{2}+x+3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -4x^{2}+ax+bx+3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=-4\times 3=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=4 b=-3$$

-4x^{2}+x+3 als \left(-4x^{2}+4x\right)+\left(-3x+3\right) umschreiben.

$$\left(-4x^{2}+4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+1=0 und 4x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2x\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2x,x+1,x\left(x+1\right).

$$\left(x+1\right)\left(2x^{2}+1\right)-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2x^{2}+1 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, addieren Sie ihre Exponenten. Addieren Sie 1 und 2, um 3 zu erhalten.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit 3x^{2}-1 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=6x^{2}-2$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}-6x^{2}=-2$$

Kombinieren Sie 2x^{2} und -6x^{2}, um -4x^{2} zu erhalten.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}=-2$$

Auf beiden Seiten 2 addieren.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}+2=0$$

Addieren Sie 1 und 2, um 3 zu erhalten.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+3-2x^{3}=0$$

Kombinieren Sie 2x^{3} und -2x^{3}, um 0 zu erhalten.

$$x-4x^{2}+3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4x^{2}+x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch 1 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 16 mit 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 1 zu 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-1±7}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±7}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 7.

$$x=\frac{6}{-8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{-8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±7}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -1.

$$x=-\frac{8}{-8}$$

Dividieren Sie -8 durch -8.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{3}{4} x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2x\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2x,x+1,x\left(x+1\right).

$$\left(x+1\right)\left(2x^{2}+1\right)-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2x^{2}+1 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, addieren Sie ihre Exponenten. Addieren Sie 1 und 2, um 3 zu erhalten.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit 3x^{2}-1 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=6x^{2}-2$$

Subtrahieren Sie 6x^{2} von beiden Seiten.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}-6x^{2}=-2$$

Kombinieren Sie 2x^{2} und -6x^{2}, um -4x^{2} zu erhalten.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}=-2$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$2x^{3}+x-4x^{2}-2x^{3}=-2-1$$

Subtrahieren Sie 1 von -2, um -3 zu erhalten.

$$2x^{3}+x-4x^{2}-2x^{3}=-3$$

Kombinieren Sie 2x^{3} und -2x^{3}, um 0 zu erhalten.

$$x-4x^{2}=-3$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4x^{2}+x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}+x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Dividieren Sie 1 durch -4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=-\frac{3}{-4}$$

Dividieren Sie -3 durch -4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu \frac{1}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Addieren Sie \frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$