2x+1/x=4x lösen

$$\frac { 2 x + 1 } { x } = 4 x$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x.

$$2x+1=4xx$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$2x+1=4x^{2}$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-4x^{2}+2x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -4, b durch 2 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2\left(-4\right)}$$

Addieren Sie 4 zu 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2\left(-4\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 20.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{5} durch -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{5} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{5} durch -8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4} x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x.

$$2x+1=4xx$$

Multiplizieren Sie x und x, um x^{2} zu erhalten.

$$2x+1=4x^{2}$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$2x-4x^{2}=-1$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-4x^{2}+2x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division durch -4 macht die Multiplikation mit -4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{-4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-4}$$

Dividieren Sie -1 durch -4.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$