2/x+2/x+1=3 lösen

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Kombinieren Sie 2x und x\times 2, um 4x zu erhalten.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit x+1 zu multiplizieren.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Kombinieren Sie 4x und -3x, um x zu erhalten.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -6 ergeben.

$$-1,6 -2,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=3 b=-2$$

-3x^{2}+x+2 als \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+1=0 und 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Kombinieren Sie 2x und x\times 2, um 4x zu erhalten.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit x+1 zu multiplizieren.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Kombinieren Sie 4x und -3x, um x zu erhalten.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 1 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 1 zu 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±5}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±5}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dividieren Sie -6 durch -6.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Kombinieren Sie 2x und x\times 2, um 4x zu erhalten.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit x+1 zu multiplizieren.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Kombinieren Sie 4x und -3x, um x zu erhalten.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$x-3x^{2}=-2$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Dividieren Sie 1 durch -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Dividieren Sie -2 durch -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu \frac{1}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$