168/x-168/x+14=1 lösen

$$\frac { 168 } { x } - \frac { 168 } { x + 14 } = 1$$

Nach x auflösen

$$x=-56$$

$$x=42$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-14,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+14\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+14 mit 168 zu multiplizieren.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+14 zu multiplizieren.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Subtrahieren Sie 14x von beiden Seiten.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Kombinieren Sie 168x und -14x, um 154x zu erhalten.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Multiplizieren Sie -1 und 168, um -168 zu erhalten.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 154x und -168x, um -14x zu erhalten.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+2352 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=-2352=-2352$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -2352 ergeben.

$$1,-2352 2,-1176 3,-784 4,-588 6,-392 7,-336 8,-294 12,-196 14,-168 16,-147 21,-112 24,-98 28,-84 42,-56 48,-49$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-2352=-2351 2-1176=-1174 3-784=-781 4-588=-584 6-392=-386 7-336=-329 8-294=-286 12-196=-184 14-168=-154 16-147=-131 21-112=-91 24-98=-74 28-84=-56 42-56=-14 48-49=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=42 b=-56$$

-x^{2}-14x+2352 als \left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 56 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(-x+42\right)+56\left(-x+42\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+42 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+42\right)\left(x+56\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+42=0 und x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-14,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+14\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+14 mit 168 zu multiplizieren.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+14 zu multiplizieren.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Subtrahieren Sie 14x von beiden Seiten.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Kombinieren Sie 168x und -14x, um 154x zu erhalten.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Multiplizieren Sie -1 und 168, um -168 zu erhalten.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 154x und -168x, um -14x zu erhalten.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch -14 und c durch 2352, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 2352.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+9408}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 196 zu 9408.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{9604}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9604.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±98}{2\left(-1\right)}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±98}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{14±98}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±98}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 98.

$$x=\frac{112}{-2}$$

Dividieren Sie 112 durch -2.

$$x=-56$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±98}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 98 von 14.

$$x=-\frac{84}{-2}$$

Dividieren Sie -84 durch -2.

$$x=42$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-56 x=42$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-14,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+14\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+14 mit 168 zu multiplizieren.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+14 zu multiplizieren.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Subtrahieren Sie 14x von beiden Seiten.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Kombinieren Sie 168x und -14x, um 154x zu erhalten.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 2352 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$154x-x\times 168-x^{2}=-2352$$

Multiplizieren Sie -1 und 168, um -168 zu erhalten.

$$154x-168x-x^{2}=-2352$$

Kombinieren Sie 154x und -168x, um -14x zu erhalten.

$$-14x-x^{2}=-2352$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}-14x=-2352$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}-14x}{-1}=-\frac{2352}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)x=-\frac{2352}{-1}$$

Dividieren Sie -14 durch -1.

$$x^{2}+14x=-\frac{2352}{-1}$$

Dividieren Sie -2352 durch -1.

$$x^{2}+14x=2352$$

Dividieren Sie 14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Addieren Sie 2352 zu 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Faktor x^{2}+14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Vereinfachen.

$$x+7=49 x+7=-49$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=42 x=-56$$