1500/x-1500/x+250=1/2 lösen

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-250,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2x\left(x+250\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x+500 mit 1500 zu multiplizieren.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplizieren Sie 2 und 1500, um 3000 zu erhalten.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+250 zu multiplizieren.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Subtrahieren Sie 250x von beiden Seiten.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Kombinieren Sie 3000x und -250x, um 2750x zu erhalten.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 2750x und -3000x, um -250x zu erhalten.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+750000 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -750000 ergeben.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 250 ergibt.

$$a=-750 b=1000$$

-x^{2}-250x+750000 als \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 1000 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-750 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-750=0 und x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-250,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2x\left(x+250\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x+500 mit 1500 zu multiplizieren.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplizieren Sie 2 und 1500, um 3000 zu erhalten.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+250 zu multiplizieren.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Subtrahieren Sie 250x von beiden Seiten.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Kombinieren Sie 3000x und -250x, um 2750x zu erhalten.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 2750x und -3000x, um -250x zu erhalten.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch -250 und c durch 750000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

-250 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 62500 zu 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

Das Gegenteil von -250 ist 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{250±1750}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 250 zu 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Dividieren Sie 2000 durch -2.

$$x=-1000$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{250±1750}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1750 von 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Dividieren Sie -1500 durch -2.

$$x=750$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1000 x=750$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-250,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2x\left(x+250\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x+500 mit 1500 zu multiplizieren.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplizieren Sie 2 und 1500, um 3000 zu erhalten.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+250 zu multiplizieren.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Subtrahieren Sie 250x von beiden Seiten.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Kombinieren Sie 3000x und -250x, um 2750x zu erhalten.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 750000 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Kombinieren Sie 2750x und -3000x, um -250x zu erhalten.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Dividieren Sie -250 durch -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Dividieren Sie -750000 durch -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Dividieren Sie 250, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 125 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 125 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

125 zum Quadrat.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Addieren Sie 750000 zu 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Faktor x^{2}+250x+15625. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Vereinfachen.

$$x+125=875 x+125=-875$$

125 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=750 x=-1000$$