15/p+6p-5/p+2=1 lösen

$$\frac { 15 } { p } + \frac { 6 p - 5 } { p + 2 } = 1$$

Nach p auflösen

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}\approx -0,8+2,315167381i$$

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}\approx -0,8-2,315167381i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable p kann nicht gleich einem der Werte "-2,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit p\left(p+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um p+2 mit 15 zu multiplizieren.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um p mit 6p-5 zu multiplizieren.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Kombinieren Sie 15p und -5p, um 10p zu erhalten.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um p mit p+2 zu multiplizieren.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Subtrahieren Sie p^{2} von beiden Seiten.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Kombinieren Sie 6p^{2} und -p^{2}, um 5p^{2} zu erhalten.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Subtrahieren Sie 2p von beiden Seiten.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Kombinieren Sie 10p und -2p, um 8p zu erhalten.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5p^{2}+8p+30=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 8 und c durch 30, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

8 zum Quadrat.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 30}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 30.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-600}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 64 zu -600.

$$p=\frac{-8±\sqrt{-536}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -536.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 2i\sqrt{134}.

$$p=\frac{-8+2\sqrt{134}i}{10}$$

Dividieren Sie -8+2i\sqrt{134} durch 10.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{134} von -8.

$$p=\frac{-2\sqrt{134}i-8}{10}$$

Dividieren Sie -8-2i\sqrt{134} durch 10.

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable p kann nicht gleich einem der Werte "-2,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit p\left(p+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um p+2 mit 15 zu multiplizieren.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um p mit 6p-5 zu multiplizieren.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Kombinieren Sie 15p und -5p, um 10p zu erhalten.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um p mit p+2 zu multiplizieren.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Subtrahieren Sie p^{2} von beiden Seiten.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Kombinieren Sie 6p^{2} und -p^{2}, um 5p^{2} zu erhalten.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Subtrahieren Sie 2p von beiden Seiten.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Kombinieren Sie 10p und -2p, um 8p zu erhalten.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 30 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$8p+5p^{2}=-30$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5p^{2}+8p=-30$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5p^{2}+8p}{5}=-\frac{30}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-\frac{30}{5}$$

Dividieren Sie -30 durch 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-6$$

Dividieren Sie \frac{8}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-6+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-6+\frac{16}{25}$$

Addieren Sie -6 zu \frac{16}{25}.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-\frac{134}{25}$$

Faktor p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{134}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{134}{25}}$$

Vereinfachen.

$$p+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{134}i}{5} p+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{134}i}{5}$$

\frac{4}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$