140/x-1-144/x=2 lösen

$$\frac { 140 } { x - 1 } - \frac { 144 } { x } = 2$$

Nach x auflösen

$$x=-9$$

$$x=8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 144 zu multiplizieren.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

Um das Gegenteil von "144x-144" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie x\times 140 und -144x, um -4x zu erhalten.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-1 zu multiplizieren.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Auf beiden Seiten 2x addieren.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Kombinieren Sie -4x und 2x, um -2x zu erhalten.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$-x+72-x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}-x+72=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+72 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=-72=-72$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -72 ergeben.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=8 b=-9$$

-x^{2}-x+72 als \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(-x+8\right)+9\left(-x+8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+8\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+8=0 und x+9=0.

$$x=8 x=-9$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 144 zu multiplizieren.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

Um das Gegenteil von "144x-144" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie x\times 140 und -144x, um -4x zu erhalten.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-1 zu multiplizieren.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Auf beiden Seiten 2x addieren.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Kombinieren Sie -4x und 2x, um -2x zu erhalten.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}-2x+144=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch -2 und c durch 144, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit 144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1152}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 4 zu 1152.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1156}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1156.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±34}{2\left(-2\right)}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±34}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{2±34}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±34}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 34.

$$x=\frac{36}{-4}$$

Dividieren Sie 36 durch -4.

$$x=-9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±34}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 34 von 2.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Dividieren Sie -32 durch -4.

$$x=8$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-9 x=8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "0,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x-1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 144 zu multiplizieren.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

Um das Gegenteil von "144x-144" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Kombinieren Sie x\times 140 und -144x, um -4x zu erhalten.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x mit x-1 zu multiplizieren.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Auf beiden Seiten 2x addieren.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Kombinieren Sie -4x und 2x, um -2x zu erhalten.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 144 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$-2x-2x^{2}=-144$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}-2x=-144$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=-\frac{144}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=-\frac{144}{-2}$$

Dividieren Sie -2 durch -2.

$$x^{2}+x=-\frac{144}{-2}$$

Dividieren Sie -144 durch -2.

$$x^{2}+x=72$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=72+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=72+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 72 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{289}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{17}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=8 x=-9$$