10/(x+3)(x-7)-8/(x+3)(x-5)=x+10/(x-5)(x-7) lösen

$$\frac { 10 } { ( x + 3 ) ( x - 7 ) } - \frac { 8 } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) } = \frac { x + 10 } { ( x - 5 ) ( x - 7 ) }$$

Nach x auflösen

$$x=-8$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,5,7" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-5 mit 10 zu multiplizieren.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-7 mit 8 zu multiplizieren.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Um das Gegenteil von "8x-56" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Kombinieren Sie 10x und -8x, um 2x zu erhalten.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Addieren Sie -50 und 56, um 6 zu erhalten.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+3 mit x+10 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Subtrahieren Sie 13x von beiden Seiten.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Kombinieren Sie 2x und -13x, um -11x zu erhalten.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Subtrahieren Sie 30 von beiden Seiten.

$$-11x+6-x^{2}-30=0$$

Subtrahieren Sie 30 von 6, um -24 zu erhalten.

$$-11x-24-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}-11x-24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch -11 und c durch -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 121 zu -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{11±5}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±5}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 5.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Dividieren Sie 16 durch -2.

$$x=-8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±5}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dividieren Sie 6 durch -2.

$$x=-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-8 x=-3$$

Die Variable x kann nicht gleich -3 sein.

$$x=-8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-3,5,7" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-5 mit 10 zu multiplizieren.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-7 mit 8 zu multiplizieren.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Um das Gegenteil von "8x-56" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Kombinieren Sie 10x und -8x, um 2x zu erhalten.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Addieren Sie -50 und 56, um 6 zu erhalten.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+3 mit x+10 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Subtrahieren Sie 13x von beiden Seiten.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Kombinieren Sie 2x und -13x, um -11x zu erhalten.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten.

$$-11x-x^{2}=30-6$$

Subtrahieren Sie 6 von 30, um 24 zu erhalten.

$$-11x-x^{2}=24$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}-11x=24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}-11x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{11}{-1}\right)x=\frac{24}{-1}$$

Dividieren Sie -11 durch -1.

$$x^{2}+11x=\frac{24}{-1}$$

Dividieren Sie 24 durch -1.

$$x^{2}+11x=-24$$

Dividieren Sie 11, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{11}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{11}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Addieren Sie -24 zu \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}+11x+\frac{121}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

\frac{11}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-3 x=-8$$

Die Variable x kann nicht gleich -3 sein.

$$x=-8$$