1-2x/x+7=x/x-1 lösen

$$\frac { 1 - 2 x } { x + 7 } = \frac { x } { x - 1 }$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-7,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+7\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 1-2x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+7 mit x zu multiplizieren.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Kombinieren Sie -2x^{2} und -x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Subtrahieren Sie 7x von beiden Seiten.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Kombinieren Sie 3x und -7x, um -4x zu erhalten.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-3x^{2}-4x-1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-1 b=-3$$

-3x^{2}-4x-1 als \left(-3x^{2}-x\right)+\left(-3x-1\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}-x\right)+\left(-3x-1\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(3x+1\right)-\left(3x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+1\right)\left(-x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x+1=0 und -x-1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-7,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+7\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 1-2x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+7 mit x zu multiplizieren.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Kombinieren Sie -2x^{2} und -x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Subtrahieren Sie 7x von beiden Seiten.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Kombinieren Sie 3x und -7x, um -4x zu erhalten.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}-4x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch -4 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 16 zu -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\left(-3\right)}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±2}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{4±2}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2.

$$x=\frac{6}{-6}$$

Dividieren Sie 6 durch -6.

$$x=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1 x=-\frac{1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-7,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-1\right)\left(x+7\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-1 mit 1-2x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+7 mit x zu multiplizieren.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Kombinieren Sie -2x^{2} und -x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Subtrahieren Sie 7x von beiden Seiten.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Kombinieren Sie 3x und -7x, um -4x zu erhalten.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Auf beiden Seiten 1 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$-4x-3x^{2}=1$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}-4x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}-4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-3}\right)x=\frac{1}{-3}$$

Dividieren Sie -4 durch -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Dividieren Sie 1 durch -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie \frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie -\frac{1}{3} zu \frac{4}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{2}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$