1/x+4/x+1+1=15/x lösen

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Kombinieren Sie x und x\times 4, um 5x zu erhalten.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+1 zu multiplizieren.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Kombinieren Sie 5x und x, um 6x zu erhalten.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 15 zu multiplizieren.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Subtrahieren Sie 15x von beiden Seiten.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Kombinieren Sie 6x und -15x, um -9x zu erhalten.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Subtrahieren Sie 15 von beiden Seiten.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Subtrahieren Sie 15 von 1, um -14 zu erhalten.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -9 und c durch -14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Addieren Sie 81 zu 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{137} von 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,0" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Kombinieren Sie x und x\times 4, um 5x zu erhalten.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+1 zu multiplizieren.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Kombinieren Sie 5x und x, um 6x zu erhalten.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x+1 mit 15 zu multiplizieren.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Subtrahieren Sie 15x von beiden Seiten.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Kombinieren Sie 6x und -15x, um -9x zu erhalten.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 15, um 14 zu erhalten.

$$-9x+x^{2}=14$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-9x=14$$

Dividieren Sie -9, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Addieren Sie 14 zu \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Faktor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Addieren Sie \frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$