1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21} lösen

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

Lösungsschritte

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-8,-5,-2,1" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 21 mit x+5 zu multiplizieren.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 21x+105 mit x+8 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 21 mit x-1 zu multiplizieren.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 21x-21 mit x+8 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombinieren Sie 21x^{2} und 21x^{2}, um 42x^{2} zu erhalten.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombinieren Sie 273x und 147x, um 420x zu erhalten.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Subtrahieren Sie 168 von 840, um 672 zu erhalten.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 21 mit x+2 zu multiplizieren.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 21x+42 mit x-1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombinieren Sie 42x^{2} und 21x^{2}, um 63x^{2} zu erhalten.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombinieren Sie 420x und 21x, um 441x zu erhalten.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Subtrahieren Sie 42 von 672, um 630 zu erhalten.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7 mit x+2 zu multiplizieren.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7x+14 mit x+5 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 7x^{2}+49x+70 mit x+8 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Multiplizieren Sie 21 und -\frac{1}{21}, um -1 zu erhalten.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -1 mit x-1 zu multiplizieren.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -x+1 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -x^{2}-x+2 mit x+5 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -x^{3}-6x^{2}-3x+10 mit x+8 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Kombinieren Sie 7x^{3} und -14x^{3}, um -7x^{3} zu erhalten.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Kombinieren Sie 105x^{2} und -51x^{2}, um 54x^{2} zu erhalten.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Kombinieren Sie 462x und -14x, um 448x zu erhalten.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Addieren Sie 560 und 80, um 640 zu erhalten.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Auf beiden Seiten 7x^{3} addieren.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Subtrahieren Sie 54x^{2} von beiden Seiten.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Kombinieren Sie 63x^{2} und -54x^{2}, um 9x^{2} zu erhalten.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Subtrahieren Sie 448x von beiden Seiten.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Kombinieren Sie 441x und -448x, um -7x zu erhalten.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Subtrahieren Sie 640 von beiden Seiten.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Subtrahieren Sie 640 von 630, um -10 zu erhalten.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Auf beiden Seiten x^{4} addieren.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Ordnen Sie die Gleichung neu an, um sie in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -10 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±10,±5,±2,±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=1$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 durch x-1, um x^{3}+8x^{2}+17x+10 zu erhalten. Lösen Sie die Gleichung so auf, dass das Ergebnis gleich 0 ist.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 10 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±10,±5,±2,±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=-1$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie x^{3}+8x^{2}+17x+10 durch x+1, um x^{2}+7x+10 zu erhalten. Lösen Sie die Gleichung so auf, dass das Ergebnis gleich 0 ist.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 7 und c durch 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung x^{2}+7x+10=0, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=-5 x=-2$$

Entfernen Sie die Werte, mit denen die Variable nicht identisch sein kann.

$$x=-1$$

Alle gefundenen Lösungen auflisten

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "1,-5,-2" sein.

$$x=-1$$