1/x+1+x+3/(x-2)(x+1)=7x/(x+1)(x-2)-x/(x+1) lösen

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 3 } { ( x - 2 ) ( x + 1 ) } = \frac { 7 x } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) } - \frac { x } { ( x + 1 ) }$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-2\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Kombinieren Sie x und x, um 2x zu erhalten.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Addieren Sie -2 und 3, um 1 zu erhalten.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit x zu multiplizieren.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-2x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Kombinieren Sie 7x und 2x, um 9x zu erhalten.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 9x von beiden Seiten.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Kombinieren Sie 2x und -9x, um -7x zu erhalten.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-7x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -7 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4}}{2}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4}}{2}$$

Addieren Sie 49 zu -4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 45.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{5} von 7.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,2" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-2\right)\left(x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Kombinieren Sie x und x, um 2x zu erhalten.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Addieren Sie -2 und 3, um 1 zu erhalten.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-2 mit x zu multiplizieren.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-2x" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Kombinieren Sie 7x und 2x, um 9x zu erhalten.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Subtrahieren Sie 9x von beiden Seiten.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Kombinieren Sie 2x und -9x, um -7x zu erhalten.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$-7x+x^{2}=-1$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-7x=-1$$

Dividieren Sie -7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Addieren Sie \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$