1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1 lösen

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,\frac{1}{3}" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-1 mit 16 zu multiplizieren.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kombinieren Sie 5x und 48x, um 53x zu erhalten.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtrahieren Sie 16 von 10, um -6 zu erhalten.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x+2 zu multiplizieren.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x+10 mit 3x-1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtrahieren Sie 15x^{2} von beiden Seiten.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtrahieren Sie 25x von beiden Seiten.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Kombinieren Sie 53x und -25x, um 28x zu erhalten.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Auf beiden Seiten 10 addieren.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Addieren Sie -6 und 10, um 4 zu erhalten.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -15x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 28 ergibt.

$$a=30 b=-2$$

-15x^{2}+28x+4 als \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right) umschreiben.

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Klammern Sie 15x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+2=0 und 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,\frac{1}{3}" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-1 mit 16 zu multiplizieren.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kombinieren Sie 5x und 48x, um 53x zu erhalten.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtrahieren Sie 16 von 10, um -6 zu erhalten.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x+2 zu multiplizieren.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x+10 mit 3x-1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtrahieren Sie 15x^{2} von beiden Seiten.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtrahieren Sie 25x von beiden Seiten.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Kombinieren Sie 53x und -25x, um 28x zu erhalten.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Auf beiden Seiten 10 addieren.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Addieren Sie -6 und 10, um 4 zu erhalten.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -15, b durch 28 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

28 zum Quadrat.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplizieren Sie 60 mit 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Addieren Sie 784 zu 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-28±32}{-30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -28 zu 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{-30} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-28±32}{-30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 32 von -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Dividieren Sie -60 durch -30.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,\frac{1}{3}" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-1 mit 16 zu multiplizieren.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kombinieren Sie 5x und 48x, um 53x zu erhalten.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtrahieren Sie 16 von 10, um -6 zu erhalten.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit x+2 zu multiplizieren.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x+10 mit 3x-1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtrahieren Sie 15x^{2} von beiden Seiten.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtrahieren Sie 25x von beiden Seiten.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Kombinieren Sie 53x und -25x, um 28x zu erhalten.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Auf beiden Seiten 6 addieren.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Addieren Sie -10 und 6, um -4 zu erhalten.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Division durch -15 macht die Multiplikation mit -15 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Dividieren Sie 28 durch -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Dividieren Sie -4 durch -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Dividieren Sie -\frac{28}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{14}{15} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{14}{15} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{14}{15}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Addieren Sie \frac{4}{15} zu \frac{196}{225}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Faktor x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Addieren Sie \frac{14}{15} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$