1/3x+1+2/x+1=3 lösen

$$\frac { 1 } { 3 x + 1 } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{5}{9}\approx -0,555555556$$

$$x=0$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,-\frac{1}{3}" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x+1\right)\left(3x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 3x+1,x+1.

$$x+1+\left(3x+1\right)\times 2=3\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$x+1+6x+2=3\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Kombinieren Sie x und 6x, um 7x zu erhalten.

$$7x+1+2=3\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Addieren Sie 1 und 2, um 3 zu erhalten.

$$7x+3=3\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x+1 zu multiplizieren.

$$7x+3=\left(3x+3\right)\left(3x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+3 mit 3x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$7x+3=9x^{2}+12x+3$$

Subtrahieren Sie 9x^{2} von beiden Seiten.

$$7x+3-9x^{2}=12x+3$$

Subtrahieren Sie 12x von beiden Seiten.

$$7x+3-9x^{2}-12x=3$$

Kombinieren Sie 7x und -12x, um -5x zu erhalten.

$$-5x+3-9x^{2}=3$$

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$-5x+3-9x^{2}-3=0$$

Subtrahieren Sie 3 von 3, um 0 zu erhalten.

$$-5x-9x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-9x^{2}-5x=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -9, b durch -5 und c durch 0, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}}}{2\left(-9\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \left(-5\right)^{2}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±5}{2\left(-9\right)}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±5}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -9.

$$x=\frac{5±5}{-18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±5}{-18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 5.

$$x=\frac{10}{-18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{-18} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{9}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±5}{-18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 5.

$$x=\frac{0}{-18}$$

Dividieren Sie 0 durch -18.

$$x=0$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{5}{9} x=0$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-1,-\frac{1}{3}" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x+1\right)\left(3x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 3x+1,x+1.

$$x+1+\left(3x+1\right)\times 2=3\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+1 mit 2 zu multiplizieren.

$$x+1+6x+2=3\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Kombinieren Sie x und 6x, um 7x zu erhalten.

$$7x+1+2=3\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Addieren Sie 1 und 2, um 3 zu erhalten.

$$7x+3=3\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x+1 zu multiplizieren.

$$7x+3=\left(3x+3\right)\left(3x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x+3 mit 3x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$7x+3=9x^{2}+12x+3$$

Subtrahieren Sie 9x^{2} von beiden Seiten.

$$7x+3-9x^{2}=12x+3$$

Subtrahieren Sie 12x von beiden Seiten.

$$7x+3-9x^{2}-12x=3$$

Kombinieren Sie 7x und -12x, um -5x zu erhalten.

$$-5x+3-9x^{2}=3$$

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$-5x-9x^{2}=3-3$$

Subtrahieren Sie 3 von 3, um 0 zu erhalten.

$$-5x-9x^{2}=0$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-9x^{2}-5x=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -9.

$$\frac{-9x^{2}-5x}{-9}=\frac{0}{-9}$$

Division durch -9 macht die Multiplikation mit -9 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-9}\right)x=\frac{0}{-9}$$

Dividieren Sie -5 durch -9.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{0}{-9}$$

Dividieren Sie 0 durch -9.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=0$$

Dividieren Sie \frac{5}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{18} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{18} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{18}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{25}{324}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{25}{324}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{324}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{5}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{5}{18}$$

\frac{5}{18} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=0 x=-\frac{5}{9}$$