1/3x^2+4/5x=1 lösen

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0,907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3,307130751$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{1}{3}, b durch \frac{4}{5} und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplizieren Sie -\frac{4}{3} mit -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Addieren Sie \frac{16}{25} zu \frac{4}{3}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \frac{148}{75}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplizieren Sie 2 mit \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -\frac{4}{5} zu \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} durch \frac{2}{3}, indem Sie -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} mit dem Kehrwert von \frac{2}{3} multiplizieren.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{2\sqrt{111}}{15} von -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} durch \frac{2}{3}, indem Sie -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} mit dem Kehrwert von \frac{2}{3} multiplizieren.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Division durch \frac{1}{3} macht die Multiplikation mit \frac{1}{3} rückgängig.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Dividieren Sie \frac{4}{5} durch \frac{1}{3}, indem Sie \frac{4}{5} mit dem Kehrwert von \frac{1}{3} multiplizieren.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Dividieren Sie 1 durch \frac{1}{3}, indem Sie 1 mit dem Kehrwert von \frac{1}{3} multiplizieren.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Dividieren Sie \frac{12}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{6}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{6}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{6}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Addieren Sie 3 zu \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

\frac{6}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$