1/2x^2-5/8x+2=0 lösen

$$\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } x + 2 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{5+\sqrt{231}i}{8}\approx 0,625+1,899835519i$$

$$x=\frac{-\sqrt{231}i+5}{8}\approx 0,625-1,899835519i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{8}x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{1}{2}, b durch -\frac{5}{8} und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{8}\right)±\sqrt{\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{8}\right)±\sqrt{\frac{25}{64}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{8}\right)±\sqrt{\frac{25}{64}-2\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplizieren Sie -2 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{8}\right)±\sqrt{\frac{25}{64}-4}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Addieren Sie \frac{25}{64} zu -4.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{8}\right)±\sqrt{-\frac{231}{64}}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -\frac{231}{64}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{8}\right)±\frac{\sqrt{231}i}{8}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Das Gegenteil von -\frac{5}{8} ist \frac{5}{8}.

$$x=\frac{\frac{5}{8}±\frac{\sqrt{231}i}{8}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplizieren Sie 2 mit \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{5}{8}±\frac{\sqrt{231}i}{8}}{1}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{5}{8}±\frac{\sqrt{231}i}{8}}{1}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie \frac{5}{8} zu \frac{i\sqrt{231}}{8}.

$$x=\frac{5+\sqrt{231}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{5}{8}±\frac{\sqrt{231}i}{8}}{1}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{i\sqrt{231}}{8} von \frac{5}{8}.

$$x=\frac{-\sqrt{231}i+5}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5+\sqrt{231}i}{8} x=\frac{-\sqrt{231}i+5}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{8}x+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{8}x+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{8}x=-2$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{8}x}{\frac{1}{2}}=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Division durch \frac{1}{2} macht die Multiplikation mit \frac{1}{2} rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{5}{8}}{\frac{1}{2}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{8} durch \frac{1}{2}, indem Sie -\frac{5}{8} mit dem Kehrwert von \frac{1}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Dividieren Sie -2 durch \frac{1}{2}, indem Sie -2 mit dem Kehrwert von \frac{1}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-4$$

Dividieren Sie -\frac{5}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-4+\frac{25}{64}$$

Addieren Sie -4 zu \frac{25}{64}.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{231}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{231}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{231}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{231}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{231}i}{8}$$

Addieren Sie \frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5+\sqrt{231}i}{8} x=\frac{-\sqrt{231}i+5}{8}$$