1/15x^2-3/10x+1/3=0 lösen

$$\frac { 1 } { 15 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 10 } x + \frac { 1 } { 3 } = 0$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{1}{15}, b durch -\frac{3}{10} und c durch \frac{1}{3}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{1}{15}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Multiplizieren Sie -\frac{4}{15} mit \frac{1}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{45}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Addieren Sie \frac{9}{100} zu -\frac{4}{45}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{1}{900}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \frac{1}{900}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Das Gegenteil von -\frac{3}{10} ist \frac{3}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Multiplizieren Sie 2 mit \frac{1}{15}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie \frac{3}{10} zu \frac{1}{30}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{15}}$$

Dividieren Sie \frac{1}{3} durch \frac{2}{15}, indem Sie \frac{1}{3} mit dem Kehrwert von \frac{2}{15} multiplizieren.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{1}{30} von \frac{3}{10}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{15}}$$

Dividieren Sie \frac{4}{15} durch \frac{2}{15}, indem Sie \frac{4}{15} mit dem Kehrwert von \frac{2}{15} multiplizieren.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

\frac{1}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$

Die Subtraktion von \frac{1}{3} von sich selbst ergibt 0.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x=-\frac{1}{3}$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 15.

$$\frac{\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x}{\frac{1}{15}}=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Division durch \frac{1}{15} macht die Multiplikation mit \frac{1}{15} rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}}\right)x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{10} durch \frac{1}{15}, indem Sie -\frac{3}{10} mit dem Kehrwert von \frac{1}{15} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{3} durch \frac{1}{15}, indem Sie -\frac{1}{3} mit dem Kehrwert von \frac{1}{15} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-5$$

Dividieren Sie -\frac{9}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-5+\frac{81}{16}$$

Addieren Sie -5 zu \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$