1/(x-3)=2x+1/x^2-4 lösen

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4,791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0,208712153$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,2,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit 2x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Kombinieren Sie x^{2} und -2x^{2}, um -x^{2} zu erhalten.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Auf beiden Seiten 5x addieren.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Auf beiden Seiten 3 addieren.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

Addieren Sie -4 und 3, um -1 zu erhalten.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 5 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 25 zu -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

Dividieren Sie -5+\sqrt{21} durch -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{21} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

Dividieren Sie -5-\sqrt{21} durch -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-2,2,3" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-3 mit 2x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Kombinieren Sie x^{2} und -2x^{2}, um -x^{2} zu erhalten.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Auf beiden Seiten 5x addieren.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Auf beiden Seiten 4 addieren.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

Addieren Sie -3 und 4, um 1 zu erhalten.

$$-x^{2}+5x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Dividieren Sie 5 durch -1.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

Dividieren Sie 1 durch -1.

$$x^{2}-5x=-1$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$