(x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4 lösen

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3,862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2,362474899$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-\frac{1}{2},\frac{1}{2}" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -4 mit x+3 zu multiplizieren.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -4x-12 mit 6-x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -1 mit 2x-1 zu multiplizieren.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2x+1 mit 2x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Auf beiden Seiten 4x^{2} addieren.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 4x^{2}, um 8x^{2} zu erhalten.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von -72, um -73 zu erhalten.

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}-12x-73=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -12 und c durch -73, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -73.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 144 zu 2336.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2480.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 4\sqrt{155}.

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

Dividieren Sie 12+4\sqrt{155} durch 16.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{155} von 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

Dividieren Sie 12-4\sqrt{155} durch 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Die Variable x kann nicht gleich einem der Werte "-\frac{1}{2},\frac{1}{2}" sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -4 mit x+3 zu multiplizieren.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -4x-12 mit 6-x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -1 mit 2x-1 zu multiplizieren.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2x+1 mit 2x+1 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Auf beiden Seiten 4x^{2} addieren.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 4x^{2}, um 8x^{2} zu erhalten.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Auf beiden Seiten 72 addieren.

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

Addieren Sie 1 und 72, um 73 zu erhalten.

$$-12x+8x^{2}=73$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}-12x=73$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie \frac{73}{8} zu \frac{9}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$