(x+3)^2/5+1-(3x-1)^2/5=x(2x-3)/2 lösen

$$\frac { ( x + 3 ) ^ { 2 } } { 5 } + 1 - \frac { ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } } { 5 } = \frac { x ( 2 x - 3 ) } { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 10, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x^{2}+6x+9 zu multiplizieren.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Addieren Sie 18 und 10, um 28 zu erhalten.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

\left(3x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2 mit 9x^{2}-6x+1 zu multiplizieren.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Kombinieren Sie 2x^{2} und -18x^{2}, um -16x^{2} zu erhalten.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Kombinieren Sie 12x und 12x, um 24x zu erhalten.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Subtrahieren Sie 2 von 28, um 26 zu erhalten.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x mit 2x-3 zu multiplizieren.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Subtrahieren Sie 10x^{2} von beiden Seiten.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Kombinieren Sie -16x^{2} und -10x^{2}, um -26x^{2} zu erhalten.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Auf beiden Seiten 15x addieren.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Kombinieren Sie 24x und 15x, um 39x zu erhalten.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 13.

$$-2x^{2}+3x+2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -2x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=-2\times 2=-4$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4 ergeben.

$$-1,4 -2,2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=4 b=-1$$

-2x^{2}+3x+2 als \left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right) umschreiben.

$$\left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right)$$

Klammern Sie 2x in -2x^{2}+4x aus.

$$2x\left(-x+2\right)-x+2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -x+2=0 und 2x+1=0.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 10, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x^{2}+6x+9 zu multiplizieren.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Addieren Sie 18 und 10, um 28 zu erhalten.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

\left(3x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2 mit 9x^{2}-6x+1 zu multiplizieren.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Kombinieren Sie 2x^{2} und -18x^{2}, um -16x^{2} zu erhalten.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Kombinieren Sie 12x und 12x, um 24x zu erhalten.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Subtrahieren Sie 2 von 28, um 26 zu erhalten.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x mit 2x-3 zu multiplizieren.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Subtrahieren Sie 10x^{2} von beiden Seiten.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Kombinieren Sie -16x^{2} und -10x^{2}, um -26x^{2} zu erhalten.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Auf beiden Seiten 15x addieren.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Kombinieren Sie 24x und 15x, um 39x zu erhalten.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -26, b durch 39 und c durch 26, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

39 zum Quadrat.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+104\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Multiplizieren Sie 104 mit 26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+2704}}{2\left(-26\right)}$$

Addieren Sie 1521 zu 2704.

$$x=\frac{-39±\sqrt{4225}}{2\left(-26\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4225.

$$x=\frac{-39±65}{2\left(-26\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -26.

$$x=\frac{-39±65}{-52}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-39±65}{-52}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -39 zu 65.

$$x=\frac{26}{-52}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{26}{-52} um den niedrigsten Term, indem Sie 26 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-39±65}{-52}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 65 von -39.

$$x=-\frac{104}{-52}$$

Dividieren Sie -104 durch -52.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{2} x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 10, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x^{2}+6x+9 zu multiplizieren.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Addieren Sie 18 und 10, um 28 zu erhalten.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

\left(3x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2 mit 9x^{2}-6x+1 zu multiplizieren.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Kombinieren Sie 2x^{2} und -18x^{2}, um -16x^{2} zu erhalten.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Kombinieren Sie 12x und 12x, um 24x zu erhalten.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Subtrahieren Sie 2 von 28, um 26 zu erhalten.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5x mit 2x-3 zu multiplizieren.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Subtrahieren Sie 10x^{2} von beiden Seiten.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Kombinieren Sie -16x^{2} und -10x^{2}, um -26x^{2} zu erhalten.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Auf beiden Seiten 15x addieren.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Kombinieren Sie 24x und 15x, um 39x zu erhalten.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Subtrahieren Sie 26 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$-26x^{2}+39x=-26$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -26.

$$\frac{-26x^{2}+39x}{-26}=-\frac{26}{-26}$$

Division durch -26 macht die Multiplikation mit -26 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{39}{-26}x=-\frac{26}{-26}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{39}{-26} um den niedrigsten Term, indem Sie 13 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{26}{-26}$$

Dividieren Sie -26 durch -26.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=1$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=1+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie 1 zu \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$