cosA--015 lösen

$$\cos A - - 015$$

W.r.t. A differenzieren

$$-\sin(A)$$

Schritte unter Verwendung der Definition einer Ableitung

Multiplizieren Sie 0 und 15, um 0 zu erhalten.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)-0)$$

Multiplizieren Sie -1 und 0, um 0 zu erhalten.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)+0)$$

Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))$$

Für eine Funktion f\left(x\right) ist die Ableitung der Grenzwert von \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, mit h gegen 0, wenn dieser Grenzwert existiert.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}\right)$$

Verwenden Sie die Summenformel für Kosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}$$

Klammern Sie \cos(A) aus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(A)\sin(h)}{h}$$

Schreiben Sie den Grenzwert um.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Verwenden Sie beim Berechnen von Grenzwerten die Tatsache, dass A eine Konstante ist, da h gegen 0 geht.

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Der Grenzwert \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} ist 1.

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)$$

Zum Bestimmen des Grenzwerts \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} multiplizieren Sie zunächst den Zähler und Nenner mit \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplizieren Sie \cos(h)+1 mit \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Verwenden Sie den trigonometrischen Pythagoras.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Schreiben Sie den Grenzwert um.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Der Grenzwert \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} ist 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Nutzen Sie die Tatsache, dass \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} bei 0 fortlaufend ist.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Setzen Sie den Wert 0 in den Ausdruck \cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A) ein.

$$-\sin(A)$$

Auswerten

$$\cos(A)$$