=8x^2-22x+15 lösen

$$= 8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

Faktorisieren

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 8x^{2}+ax+bx+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 120 ergeben.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -22 ergibt.

$$a=-12 b=-10$$

8x^{2}-22x+15 als \left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und -5 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

-22 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 484 zu -480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -22 ist 22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{22±2}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 22 zu 2.

$$x=\frac{24}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{24}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{22±2}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 22.

$$x=\frac{20}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{20}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{2} und für x_{2} \frac{5}{4} ein.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x-3}{2} mit \frac{4x-5}{4}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 8 in 8 und 8 aufheben.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Auswerten

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$