=20x^4+31x^2-9 lösen

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Faktorisieren

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Lösungsschritte

Um den Ausdruck zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -9 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 20 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=\frac{1}{2}$$

Laut dem Faktorsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Wurzel k. Dividieren Sie 20x^{4}+31x^{2}-9 durch 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, um 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 9 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 10 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Laut dem Faktorsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Wurzel k. Dividieren Sie 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 durch 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1, um 5x^{2}+9 zu erhalten. Um das Ergebnis zu faktorisieren, lösen Sie die Gleichung so auf, dass sie gleich 0 ist.

$$5x^{2}+9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 0 und c durch 9.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Das Polynom 5x^{2}+9 ist nicht faktorisiert, weil es keine rationalen Nullstellen besitzt.

$$5x^{2}+9$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck mit den erhaltenen Wurzeln um.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Auswerten

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$