Løs cos(x)

$$\cos ( x )$$

Differentier w.r.t. x

$$-\sin(x)$$

Vejledning i brug af definition af en afledning

For en funktion f\left(x\right) er afledningen lig med grænsen på \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} med h gående mod 0, hvis denne grænse findes.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right)$$

Brug sumformlen for cosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}$$

Udfaktoriser \cos(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}$$

Omskriv grænsen.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Brug det faktum, at x er en konstant, når der beregnes grænser med h gående mod 0.

$$\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Grænsen \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} er 1.

$$\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)$$

Hvis du vil evaluere grænsen \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, skal du først multiplicere tælleren og nævneren med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplicer \cos(h)+1 gange \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Brug Pythagoras-identiteten.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Omskriv grænsen.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Grænsen \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} er 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Brug det faktum, at \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} er kontinuerlig ved 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Substituer værdien 0 i udtrykket \cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x).

$$-\sin(x)$$

Evaluer

$$\cos(x)$$