Datrys y=5x-43text{and}3x+5y=9

$$y = 5 x - 43 \text { and } 3 x + 5 y = 9$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=8$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 5x o'r ddwy ochr.

$$y-5x=-43$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y-5x=-43$$

Adio 5x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=5x-43$$

Amnewid 5x-43 am y yn yr hafaliad arall, 5y+3x=9.

$$5\left(5x-43\right)+3x=9$$

Lluoswch 5 â 5x-43.

$$25x-215+3x=9$$

Adio 25x at 3x.

$$28x-215=9$$

Adio 215 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$28x=224$$

Rhannu’r ddwy ochr â 28.

$$x=8$$

Cyfnewidiwch 8 am x yn y=5x-43. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=5\times 8-43$$

Lluoswch 5 â 8.

$$y=40-43$$

Adio -43 at 40.

$$y=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-3,x=8$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 5x o'r ddwy ochr.

$$y-5x=-43$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}&\frac{5}{28}\\-\frac{5}{28}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}\left(-43\right)+\frac{5}{28}\times 9\\-\frac{5}{28}\left(-43\right)+\frac{1}{28}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-3,x=8$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 5x o'r ddwy ochr.

$$y-5x=-43$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

I wneud y a 5y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$5y+5\left(-5\right)x=5\left(-43\right),5y+3x=9$$

Symleiddio.

$$5y-25x=-215,5y+3x=9$$

Tynnwch 5y+3x=9 o 5y-25x=-215 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5y-5y-25x-3x=-215-9$$

Adio 5y at -5y. Mae'r termau 5y a -5y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-25x-3x=-215-9$$

Adio -25x at -3x.

$$-28x=-215-9$$

Adio -215 at -9.

$$-28x=-224$$

Rhannu’r ddwy ochr â -28.

$$x=8$$

Cyfnewidiwch 8 am x yn 5y+3x=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$5y+3\times 8=9$$

Lluoswch 3 â 8.

$$5y+24=9$$

Tynnu 24 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-3,x=8$$