Datrys {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$8x+2y=46$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=-2y+46$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Lluoswch \frac{1}{8} â -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Amnewid \frac{-y+23}{4} am x yn yr hafaliad arall, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Lluoswch 7 â \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Adio -\frac{7y}{4} at 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Tynnu \frac{161}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{27}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{27}{5} am y yn x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â \frac{27}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Adio \frac{23}{4} at -\frac{27}{20} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{22}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

I wneud 8x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Symleiddio.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Tynnwch 56x+24y=376 o 56x+14y=322 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Adio 56x at -56x. Mae'r termau 56x a -56x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$14y-24y=322-376$$

Adio 14y at -24y.

$$-10y=322-376$$

Adio 322 at -376.

$$-10y=-54$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{27}{5} am y yn 7x+3y=47. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Lluoswch 3 â \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Tynnu \frac{81}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$