Datrys y=2x-3text{and}5x+2y=30

$$y = 2 x - 3 \text { and } 5 x + 2 y = 30$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=4$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=-3$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y-2x=-3$$

Adio 2x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=2x-3$$

Amnewid 2x-3 am y yn yr hafaliad arall, 2y+5x=30.

$$2\left(2x-3\right)+5x=30$$

Lluoswch 2 â 2x-3.

$$4x-6+5x=30$$

Adio 4x at 5x.

$$9x-6=30$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=36$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=4$$

Cyfnewidiwch 4 am x yn y=2x-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=2\times 4-3$$

Lluoswch 2 â 4.

$$y=8-3$$

Adio -3 at 8.

$$y=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=5,x=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=-3$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=5,x=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=-3$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

I wneud y a 2y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-3\right),2y+5x=30$$

Symleiddio.

$$2y-4x=-6,2y+5x=30$$

Tynnwch 2y+5x=30 o 2y-4x=-6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2y-2y-4x-5x=-6-30$$

Adio 2y at -2y. Mae'r termau 2y a -2y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4x-5x=-6-30$$

Adio -4x at -5x.

$$-9x=-6-30$$

Adio -6 at -30.

$$-9x=-36$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$x=4$$

Cyfnewidiwch 4 am x yn 2y+5x=30. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$2y+5\times 4=30$$

Lluoswch 5 â 4.

$$2y+20=30$$

Tynnu 20 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=5,x=4$$