Datrys x+2y=1,3x-y=17

$$x + 2 y = 1,3 x - y = 17$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=1,3x-y=17$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=1$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y+1$$

Amnewid -2y+1 am x yn yr hafaliad arall, 3x-y=17.

$$3\left(-2y+1\right)-y=17$$

Lluoswch 3 â -2y+1.

$$-6y+3-y=17$$

Adio -6y at -y.

$$-7y+3=17$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=-2y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\left(-2\right)+1$$

Lluoswch -2 â -2.

$$x=4+1$$

Adio 1 at 4.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=1,3x-y=17$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{2}{7}\times 17\\\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=1,3x-y=17$$

I wneud x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$3x+3\times 2y=3,3x-y=17$$

Symleiddio.

$$3x+6y=3,3x-y=17$$

Tynnwch 3x-y=17 o 3x+6y=3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+6y+y=3-17$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y+y=3-17$$

Adio 6y at y.

$$7y=3-17$$

Adio 3 at -17.

$$7y=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn 3x-y=17. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-\left(-2\right)=17$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=-2$$