Datrys n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Datrys ar gyfer n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio

Er mwyn datrys yr hafaliad, dylech ffactorio n^{2}-11n-60 gan ddefnyddio'r fformiwla n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Gan fod ab yn negatif, mae gan a a b yr arwyddion croes. Gan fod a+b yn negatif, mae gan y rhif negatif werth absoliwt mwy na'r positif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm -11.

$$a=-15 b=4$$

Ail-ysgrifennwch y mynegiant wedi'i ffactorio \left(n+a\right)\left(n+b\right) gan ddefnyddio'r gwerthoedd a gafwyd.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch n-15=0 a n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel n^{2}+an+bn-60. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Gan fod ab yn negatif, mae gan a a b yr arwyddion croes. Gan fod a+b yn negatif, mae gan y rhif negatif werth absoliwt mwy na'r positif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm -11.

$$a=-15 b=4$$

Ailysgrifennwch n^{2}-11n-60 fel \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Ni ddylech ffactorio n yn y cyntaf a 4 yn yr ail grŵp.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin n-15 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch n-15=0 a n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 1 am a, -11 am b, a -60 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Sgwâr -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Lluoswch -4 â -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Adio 121 at 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Cymryd isradd 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Gwrthwyneb -11 yw 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Datryswch yr hafaliad n=\frac{11±19}{2} pan fydd ± yn plws. Adio 11 at 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Rhannwch 30 â 2.

$$n=15$$

Datryswch yr hafaliad n=\frac{11±19}{2} pan fydd ± yn minws. Tynnu 19 o 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Rhannwch -8 â 2.

$$n=-4$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$n=15 n=-4$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Adio 60 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Mae tynnu -60 o’i hun yn gadael 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Tynnu -60 o 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Rhannwch -11, cyfernod y term x, â 2 i gael -\frac{11}{2}. Yna ychwanegwch sgwâr -\frac{11}{2} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Sgwariwch -\frac{11}{2} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Adio 60 at \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Ffactora n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Symleiddio.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Adio \frac{11}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$n=15 n=-4$$