Datrys f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

Gwahaniaethu w.r.t. y

$$\cos(y)$$

Camau gan Ddefnyddio Diffiniad o Ddeilliad

Ar gyfer y ffwythiant f\left(x\right), y deilliad yw'r terfyn \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} gan fod h yn mynd i 0, os yw’r terfyn hwnnw yn bodoli.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Defnyddio’r Fformiwla Swm ar gyfer Sin.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Ffactora allan \sin(y).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Ailysgrifennu’r terfyn.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Defnyddio'r ffaith bod y yn gyson pan fydd terfynau cyfrifiadura fel h yn mynd i 0.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Y terfyn \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} yw 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

I enrhifo’r terfyn \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, yn gyntaf lluoswch y rhifiadur a'r enwadur â \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Lluoswch \cos(h)+1 â \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Defnyddio'r Hunaniaeth Pythagoreaidd.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Ailysgrifennu’r terfyn.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Y terfyn \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} yw 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Defnyddio'r ffaith fod \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} yn barhaus yn 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Amnewid y gwerth 0 i mewn i’r mynegiad \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y).

$$\cos(y)$$

Enrhifo

$$\sin(y)$$