Datrys 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Ffactor

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Camau Ateb

Dylech ffactorio'r mynegiant drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r mynegiant ar ffurf 81x^{2}+ax+bx+25. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Gan fod ab yn bositif, mae gan a a b yr un arwydd. Gan fod a+b yn bositif, mae a a b ill dau yn bositif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm 90.

$$a=45 b=45$$

Ailysgrifennwch 81x^{2}+90x+25 fel \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Ni ddylech ffactorio 9x yn y cyntaf a 5 yn yr ail grŵp.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin 9x+5 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Ailysgrifennu fel sgwâr binomial.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Camau i Ddefnyddio Sgwâr Binomaidd

Mae gan y trinomial hwn ffurf sgwâr trinomial, o bosib wedi’i luosogi â ffactor cyffredin. Mae modd ffactora sgwariau trinomial drwy ganfod israddau’r termau sy’n dilyn a’r termau llusg.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Dod o hyd i ffactor cyffredin mwyaf y cyfernodau.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Dod o hyd i isradd y term sy’n arwain, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Dod o hyd i isradd y term llusg, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Sgwâr y trinomial yw sgwâr y binomial sy’n swm neu’n wahaniaeth rhwng israddau’r term sy’n arwain a’r term llusg. Caiff yr arwydd ei bennu gan arwydd term canol sgwâr y trinomial.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Camau Gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Gellir ffactorio polynomial cwadratig gan ddefnyddio’r trawsffurfiad ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), lle x_{1} a x_{2} yw datrysiadau’r hafaliad cwadratig ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Sgwâr 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Lluoswch -4 â 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Lluoswch -324 â 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Adio 8100 at -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Cymryd isradd 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Lluoswch 2 â 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Ffactoriwch y mynegiad gwreiddiol gan ddefnyddio ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Cyfnewidiwch -\frac{5}{9} am x_{1} a -\frac{5}{9} am x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Symleiddiwch bob mynegiad ar y ffurf p-\left(-q\right) i p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Adio \frac{5}{9} at x drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Adio \frac{5}{9} at x drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Lluoswch \frac{9x+5}{9} â \frac{9x+5}{9} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Lluoswch 9 â 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Diddymwch y ffactor cyffredin mwyaf 81 yn 81 a 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Enrhifo

$$\left(9x+5\right)^{2}$$